JavaScript算法模式——动态规划和贪心算法

  • 时间:
  • 浏览:1
  • 来源:大发快3_快3彩票app_大发快3彩票app

  动态规划(Dynamic Programming,DP)是一种将比较复杂问题分解成更小的子问题来正确处理的优化算法。下面有或多或少用动态规划来正确处理实际问题的算法:

至少硬币找零

  给定一组硬币的面额,以及要找零的钱数,计算出符合找零钱数的至少硬币数量。类式 ,美国硬币面额有1、5、10、25什儿 种面额,不可能 要找36美分的零钱,则得出的至少硬币数应该是四个 25美分、四个 10美分和四个 1美分共四个 硬币。什儿 算法要正确处理的假使 诸没法类的问题。大伙来看看怎样用动态规划的依据来正确处理。

  对于每一种面额,大伙都分别计算所还都可以的硬币数量。具体算法如下:

  1. 不可能 完全用1美分的硬币,一共还都可以36个硬币
  2. 不可能 用5美分的硬币,则还都可以7个5美分的硬币 + 四个 1美分的硬币 = 8个硬币
  3. 不可能 用10美分的硬币,则还都可以四个10美分的硬币 + 四个 5美分的硬币 + 四个 1美分的硬币 = 四个硬币
  4. 不可能 用25美分的硬币,则还都可以四个 25美分的硬币 + 四个 10美分的硬币 + 四个 1美分的硬币 = 四个硬币

  对应的示意图如下:

  方案4的硬币总数至少,有之后 为最优方案。

  具体的代码实现如下:

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

  函数minCoinChange()接收一组硬币的面额,以及要找零的钱数。大伙将顶端例子中的值传入:

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

  得到如下结果:

[
  { '1': 36 },
  { '1': 1, '5': 7 },
  { '1': 1, '5': 1, '10': 3 },
  { '1': 1, '10': 1, '25': 1 }
]
{ '1': 1, '10': 1, '25': 1 }

  顶端的数组是大伙在代码中打印出来的arr的值,用来展示一种不同面额的硬币作为找零硬币时,实际所还都可以的硬币种类和数量。最终,大伙会计算arr数组中硬币总数至少的那个方案,作为minCoinChange()函数的输出。

  当然在实际应用中,大伙还都可以把硬币抽象成任何你还都可以的数字,什儿 算法能给出你满足结果的最小组合。

背包问题

  背包问题是四个 组合优化问题,它被描述为:给定四个 具有固定容量的背包capacity,以及一组具有价值(value)和重量(weight)的物品,找出四个 最优方案,使得装进 背包的物品的总重量不超过capacity,且总价值最大。

  假设大伙有以下物品,且背包的总容量为5:

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  大伙用矩阵来正确处理什儿 问题。首先,大伙把物品和背包的容量组成如下矩阵:

物品(i)/重量(w) 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 (w=2, v=3) 0 0

a: 3+[0][2-2]=3+0

b: [0][2]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][3-2]=3+0

b: [0][3]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][4-3]=3+0

b: [0][4]=0

max(3+0,0)=3

a: 3+[0][5-3]=3+0

b: [0][5]=0

max(3+0,0)=3

2 (w=3, v=4) 0 0 3

a: 4+[1][3-3]=4+0

b: [1][3]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][4-3]=4+0

b: [1][4]=3

max(4+0,3)=4

a: 4+[1][5-3]=4+3

b: [1][5]=3

max(4+3,3)=7

3 (w=4, v=5) 0 0 3 4

a: 5+[2][4-4]=5+0

b: [2][4]=4

max(5+0,4)=5

a: 5+[2][5-4]=5+0

b: [2][5]=7

max(5+0,7)=7

  为了便于理解,大伙将矩阵kS的第一列和第一行忽略(不可能 它们表示的是容量0和第0个物品)。有之后 ,按照要求往矩阵的格子里填数。不可能 当前的格子能放下对应的物品,占据 以下一种情况表:

  • a - 装进 当前物品,有之后 剩余的重量再装进 前四个 物品
  • b - 不装进 当前物品,装进 前四个 物品

  在顶端的表格中,

  1. 当背包的重量为1时,没法物品能装进 ,太满有都在0,什儿 很好理解。
  2. 当背包的重量为2时,物品1还都可以装进 ,没法占据 一种情况表:装进 物品1(价值为3),剩余的重量(背包的重量2减去物品1的重量2,结果为0)再装进 前四个 物品;不装进 物品1,装进 前四个 物品[0][2],价值为0。太满有最大价值假使 max(3, 0)=3。
  3. ......
  4. 当背包的重量为5时,装进 物品2,一种情况表:装进 物品2(价值为4),剩余的重量(背包的重量5减去物品2的重量3,结果为2)再装进 前四个 物品,是[1][2],对应的价值是3;不装进 物品2,,装进 前四个 物品[1][5],价值为3。太满有最大价值假使 max(4+3, 3)=7。
  5. ......

  不可能 当前物品不还都可以装进 背包,则忽略它,用前四个 值代替。大伙还都可以按照顶端描述的过程把剩余的格子都填满,没法 表格中最后四个 单元格里的值假使 最优方案。

  下面是具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 将ks初始化为四个

空的矩阵
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩阵的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

  对于const a,其价值分为两每种,第一每种假使 它个人的价值(values[i - 1]),第二每种是用背包剩余的重量(w - weights[i - 1])装进 前四个 物品(kS[i - 1])。对于const b,假使 找前四个 能装进 什儿 重量的物品(kS[i - 1][w])。有之后 取什儿 种情况表下的最大值。

  测试一下knapSack()函数,

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

  下面是矩阵kS的输出结果:

[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 3, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 4, 7 ],
  [ 0, 0, 3, 4, 5, 7 ]
]

 最长公共子序列(LCS)

  找出四个 字符串序列的最长子序列的长度。所谓最长子序列,是指四个 字符串序列中以相同顺序出现,但无须求连续的字符串序列。类式 下面四个 字符串:

  字符串1:acbaed

  字符串2:abcadf

  则LCS为acad。

  和背包问题的思路类式 ,大伙用下面的表格来描述整个过程:

    a b c a d f
  0 0 0 0 0 0 0
a 0 1 1 1 1 1 1
c 0 1 1 2 2 2 2
b 0 1 2 2 2 2 2
a 0 1 2 2 3 3 3
e 0 1 2 2 3 3 3
d 0 1 2 2 3 4 4

  矩阵的第一行和第一列都被设置为0,剩余的每种,遵循下面一种情况表:

  • 不可能 wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则矩阵对应的单元格的值为单元格[i - 1][j - 1]的值加1。
  • 不可能 wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等,则找出单元格[i - 1][j]和单元格[i][j - 1]之间的最大值。

  下面是具体的实现代码:

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

  大伙将矩阵打印出来,结果如下:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);
[
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
  [ 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3 ],
  [ 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ]
]
4

   矩阵中最后四个 单元格的值为LCS的长度。那怎样计算出LCS的具体内容呢?大伙还都可以设计四个 相同的solution矩阵,用来做标记,不可能 wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等,则将solution矩阵中对应的值设置为'diagonal',即顶端表格中背景为灰色的单元格。有之后 ,根据[i][j]和[i - 1][j]与非 相等标记为'top'或'left'。有之后 通过printSolution()依据来找出LCS的内容。修改前一天的代码如下:

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

  测试结果:

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

   贪心算法遵循一种近似正确处理问题的技术,期盼通过每个阶段的局部最优选用,从而达到全局的最优。它不像动态规划算法那样计算更大的格局。

至少硬币找零

  大伙来看看怎样用贪心算法正确处理前面提到过的至少硬币找零问题。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

  前提是coins数组不可能 按从小到大排好序了,贪心算法从最大值刚结束了尝试,不可能 该值不满足条件(要找零的钱数),则继续向下找,直到找到满足条件的所有值。以上算法无须能满足所有情况表下找出最优方案,类式 下面什儿 情况表:

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

  给出的结果[10, 5, 2, 1]并都在最优方案,最优方案应该是[9, 9]。

  与动态规划相比,贪心算法更简单、时延更高。有之后 其结果无须四个劲最理想的。有之后 综合看来,它相对执行时间来说,输出四个 还都可以接受的结果。

背包问题

物品# 重量 价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5

  在动态规划的例子里,假定背包的容量为5,最佳方案是往背包里装进 物品1和物品2,总价值为7。在贪心算法中,大伙还都可以考虑分数的情况表,假定背包的容量为6,装进 物品1和物品2前一天,剩余容量为1,还都可以装进 1/4的物品3,总价值为3+4+0.25×5=8.25。大伙来看看具体的实现代码:

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1},重量:${weights[i]},价值:${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r},重量:${r * weights[i]},价值:${val}`);
        }
    }

    return val;
}

  从第四个 物品刚结束了遍历,不可能 总重量小于背包的容量,则继续迭代,装进 物品。不可能 物品还都可以完全地装进 背包,则将其价值和重量分别计入到变量val和load中,同时打印装进 物品的信息。不可能 物品不还都可以完全地装进 背包,计算有利于装进 的比例r,有之后 将什儿 比例所对应的价值和重量分别计入到变量val和load中,同时打印物品的信息。最终输出总的价值val。下面是测试结果:

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));
物品1,重量:2,价值:3
物品2,重量:3,价值:4
物品3的0.25,重量:1,价值:8.25
8.25

  在动态规划算法中,不可能 将背包的容量也设定为6,计算结果则为8。

最长公共子序列(LCS)

  最后大伙再来看看怎样用贪心算法正确处理LCS的问题。下面的代码返回了四个 给定数组中的LCS的长度:

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // 4